İşlem

A. TANIM

Herhangi bir A kümesinden A kümesine tanımlanan her fonksiyona birli işlem denir.

A Ì B olmak üzere, A x A kümesinden B kümesine tanımlanan her fonksiyona ikili işlem veya kısaca işlem denir.

 

İşlemler; + , – , : , x, D, m, q, « gibi simgelerle gösterilir.

 

 

B. İŞLEMİN ÖZELİKLERİ

A kümesinde ve « işlemleri tanımlanmış olsun. Buna göre, aşağıdaki 7 özeliği inceleyelim.

 

1. Kapalılık Özeliği

" a, b Î A için a b nin sonucu A kümesinin bir elemanı ise, A kümesi işlemine göre kapalıdır. (" : Her)

 

2. Değişme Özeliği

" a, b Î A için, a b = b a ise, işleminin değişme özeliği vardır.

 

3. Birleşme Özeliği

" a, b, c Î A için a (b c) = (a b) c ise, işleminin birleşme özeliği vardır.

 

4. Birim (Etkisiz) Eleman Özeliği

" x Î A için, x e = e x = x ise, e ye işleminin etkisiz elemanı denir.

e Î A ise, işlemine göre A kümesi birim eleman özeliğine sahiptir.

 

5. Ters Eleman Özeliği

işleminin etkisiz elemanı e olsun.

" a Î A için, a b = b a = e olacak biçimde bir b varsa b elemanına işlemine göre a nın tersi denir.

a nın tersi b ise genellikle b = a–1 biçiminde gösterilir.

b Î A ise, işlemine göre A kümesi ters eleman özeliğine sahiptir. 

•  Birim elemanın tersi kendisine eşittir.

•  Tersi kendisine eşit olan her eleman birim eleman olmayabilir.

 

6. Dağılma Özeliği

" a, b, c Î A için,

           a « (b c) = (a « b) (a « c) ise,

« işleminin işlemi üzerine soldan dağılma özeliği vardır.

           (a b) « c = (a « c) (b « c) ise,

« işleminin işlemi üzerine sağdan dağılma özeliği vardır.

 

« işleminin işlemi üzerine; hem soldan, hem de sağdan dağılma özeliği varsa « işleminin işlemi üzerine dağılma özeliği vardır.

 

7. Yutan Eleman Özeliği

" x Î A için, x y = y x = y olacak biçimde bir y varsa y ye işleminin yutan elemanı denir.

y Î A ise, işlemine göre A kümesi yutan eleman özeliğine sahiptir.

 

Yutan elemanın tersi yoktur. Fakat tersi olmayan her eleman yutan eleman değildir.

 

C. TABLO İLE TANIMLANMIŞ İŞLEMLER

A = {a, b, c, d} kümesinde D işlemi aşağıdaki tablo ile tanımlanmış olsun.

Ü  b D c nin sonucu bulunurken, başlangıç sütununda b, başlangıç satırında c bulunur. Bunların kesiştiği bölgedeki eleman, b D c nin sonucudur. Buna göre, b D c = a dır.

Ü  Başlangıç satırındaki ve başlangıç sütunundaki elemanların sonuçlarının görüldüğü kısımda A kümesine ait olmayan eleman yoksa A kümesi D işlemine göre kapalıdır.

Ü  Sonuçlar kısmı, köşegene göre simetrik ise, D işleminin değişme özeliği vardır.

Ü  Tablonun sonuçlar kısmında, başlangıç sütununun ve başlangıç satırının görüldüğü sütunun ve satırın kesişimindeki eleman etkisiz elemandır.

Ü  Yutan eleman hangi elemanla işleme girerse girsin, sonuç kendisine eşit olur. Bunun için, tablonun sonuçlar kısmında aynı elemandan oluşan satır ve sütun belirlenir. Bulunan yutan elemandır.

 

D. MATEMATİK SİSTEMLER

1. Tanım

A, boş olmayan bir küme olmak üzere, « işlemi A da tanımlı olsun.

(A, «) ikilisine matematik sistem denir.

 

2. Grup

A ¹ Æ olmak üzere, A kümesinde tanımlı « işlemi aşağıdaki dört koşulu sağlıyorsa, A kümesi « işlemine göre bir gruptur.

  i) A, « işlemine göre kapalıdır.

 ii) A üzerinde « işleminin birleşme özeliği vardır.

iii) A üzerinde « işleminin birim (etkisiz) elemanı vardır.

iv) A üzerinde « işlemine göre her elemanın tersi vardır.

 

A üzerinde tanımlı « işleminin değişme özeliği de varsa (A, «) sistemi değişmeli gruptur.

3. Halka

A ¹ Æ olmak üzere, A kümesi üzerinde tanımlı D ve « işlemleri aşağıdaki üç koşulu sağlıyorsa (A, D, «) sistemi bir halkadır.

  i) (A, D) sistemi değişmeli gruptur.

 ii) A kümesi « işlemine göre kapalıdır.

iii) « işleminin D işlemi üzerinde dağılma özeliği vardır.
 

Ü « işleminin değişme özeliği de varsa (A, D, «) sistemi değişmeli halkadır.

Ü « işleminin A kümesinde birim (etkisiz) elemanı da varsa (A, D, «) sistemine birim halka denir.