Kartezyen Çarpımı
A. SIRALI n Lİ
n tane nesnenin belli bir öncelik sırasına göre düzenlenip,
tek bir nesne gibi düşünülmesiyle elde edilen ifadeye sıralı n li
denir.
(a, b) sıralı ikilisinde;
a : Birinci bileşen,
b : İkinci bileşendir.
|
a ¹ b ise, (a, b) ¹ (b, a)
dır. (a, b) = (c, d) ise, (a = c ve b = d) dir. |
B. KARTEZYEN ÇARPIM
A ve B herhangi iki küme olmak üzere, birinci bileşeni A
kümesinden, ikinci bileşeni B kümesinden alınarak oluşturulan bütün
sıralı ikililerin kümesine, A ile B nin kartezyen çarpımı
denir.
A kartezyen çarpım B kümesi A x B ile gösterilir.
A x B = {(x, y) : x Î A ve y Î B} dir.
|
A ¹ B ise, A x B ¹ B x A
dır. |
C. KARTEZYEN ÇARPIMININ ÖZELİKLERİ
i) s(A) = m ve s(B)
= n ise
s(A x B)
= s(B x A) = m . n dir.
ii) A x (B x C) = (A x B) x C
iii) A x (B È C) = (A x
B) È (A x C)
iv) (B È C) x A = (B x
A) È (C x A)
v) A x (B Ç C) =
(A x B) Ç (A x C)
vı) A x Æ = Æ
x A = Æ
vıı)
D. BAĞINTI
A ve B herhangi iki küme olmak üzere A x B nin her alt
kümesine A dan B ye bağıntı denir.
Bağıntı genellikle b biçiminde gösterilir.
b Ì A x B ise, b = {(x, y) : (x, y) Î A x B} dir.
Ü s(A) = m ve s(B) = n ise,
A dan B ye 2m.n tane bağıntı
tanımlanabilir.
Ü A x A nın herhangi bir alt kümesine A dan A ya
bağıntı ya da A da bağıntı denir.
Ü s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere,
A dan B ye tanımlanabilen r elemanlı (r
£ m . n) bağıntı sayısı
Ü b Ì A x B olmak üzere,
b = {(x, y) : (x, y) Î A x B}
bağıntısının tersi
b-1
Ì B x A dır.
Buna göre, b bağıntısının tersi
b-1
= {(y, x) : (x, y) Î b} dır.
E. BAĞINTININ ÖZELİKLERİ
b, A da tanımlı bir bağıntı olsun.
1. Yansıma Özeliği
A kümesinin bütün x elemanları için (x, x) Î b ise, b
yansıyandır.
"x Î A için, (x, x) Î b ª b yansıyandır.
2. Simetri Özeliği
b bağıntısının bütün (x, y) elemanları için (y, x) Î b ise,
b simetriktir.
"(x, y) Î b için (y, x) Î b ª b simetriktir.
Ü b
bağıntısı simetrik ise b = b-1
dir.
Ü s(A) = n olmak
üzere, A kümesinde tanımlanabilecek simetrik bağıntı sayısı dir.
Ü s(A) = n olmak
üzere, A kümesinde tanımlanabilecek yansıyan bağıntı sayısı 2(n.n
- n) dir.
3. Ters Simetri Özeliği
b bağıntısı A kümesinde tanımlı olsun.
x ¹ y iken "(x, y) Î b için (y, x) Ï b ise, b ters
simetriktir.
|
b bağıntısında (x, x) elemanın bulunması
ters simetri özeliğini bozmaz. |
4. Geçişme Özeliği
b, A da tanımlı bir bağıntı olsun.
olmalı
b bağıntısının geçişme özelliği vardır.
F. BAĞINTI ÇEŞİTLERİ
1. Denklik Bağıntısı
b bağıntısı A kümesinde tanımlı olsun.
b; Yansıma, Simetri, Geçişme özelliğini sağlıyorsa
denklik bağıntısıdır.
Ü b denklik bağıntısı ve (x, y) Î b ise, x denktir. y ye
denir.
x º y biçiminde gösterilir.
Ü b
denklik bağıntısı olmak üzere A da a elemanına denk olan bütün
elemanların kümesine a nın denklik sınıfı denir.
biçiminde
gösterilir.
Buna göre, a nın
denklik sınıfının kümesi,
=
{y : y Î A ve (a, y) Î b} olur.
2. Sıralama Bağıntısı