KPSS SAYFASI

• ÜÇGEN

Doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren üç doğru parçasının birleşimine üçgen denir.
[AB] U [AC] U [BC] = ABC dir.Burada;
A, B, C noktaları üçgenin köşeleri,
[AB], [AC], [BC] doğru parçaları üçgenin kenarlarıdır. 

 

 

 

 

|BC| = a, |AC| = b, |AB| = c uzunluklarına üçgenin kenar uzunlukları denir.
BAC, ABC ve ACB açıları üçgenin iç açılarıdır. İç açıların bütünleri olan açılara dış açılar denir. 

 

 

 

 

 

ABC üçgeni bir düzlemi; üçgenin kendisi, iç bölge, dış bölge, olmak üzere üç  bölgeye ayırır. ABC È {ABC iç bölgesi} = (ABC) (üçgensel bölge)

• ÜÇGEN ÇEŞiTLERi

1. Kenarlarına göre üçgen çeşitleri
a. Çeşitkenar üçgen 

Üç kenar uzunlukları da farklı olan üçgenlere denir.

b. İkizkenar Üçgen 

Herhangi iki kenar uzunluklarıeşit olan üçgenlere denir.

c. Eşkenar Üçgen 

Üç kenar uzunluklarıda eşit olan üçgenlere denir.

2. Açılarına göre üçgenler
a. Dar açılı üçgen 

Üç açısının ölçüsü de 90° den küçük olan üçgenlere dar açılıüçgen denir.

b. Dik açılı üçgen 

Bir açısının ölçüsü 90° ye eşit olan üçgenlere denir.  Dik üçgen olarak adlandırılır.

c. Geniş açılı üçgen 

Bir açısının ölçüsü 90° den büyük olan üçgenlere denir. Bir üçgende bir tek geniş açı olabilir.

• ÜÇGENİN TEMEL ve YARDIMCI  ELEMANLARI

Üçgenin kenarları’ na ve açıları’ na temel elemanlar, Yükseklik, kenarortay veaçıortaylarına yardımcı elemanlar denir.
1. Yükseklik 
Bir köşeden karşı kenara veya karşı kenarın uzantısına çizilen dik doğru parçasına yükseklik denir.

ha   ®   a kanarına ait yükseklik. hc   ®   c kenarına ait yükseklik yüksekliklerin kesim noktasına üçgenin Diklik Merkezi denir.

2. Açıortay
Üçgenin bir köşesindeki açıyıiki eş parçaya ayıran ışına o köşenin açıortayıdenir.

nA  ®  A köşesine ait iç açıortay n‘A ®   A köşesine ait dış açıortay

3. Kenarortay

Üçgenin bir kenarının orta noktasını karşısındaki köşe ile birleştiren doğru parçasına o kenara ait kenarortay denir. |AD| = Va , |BE| = Vb  olarak ifade edilir.

Dik üçgende, hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısına eşittir. |BC| = a (hipotenüs)

ÜÇGENDE AÇI ÖZELLİKLERİ

1. Üçgende iç açıların ölçüleri toplamı180° dir. [AD // [BC] olduğundan, iç ters ve yöndeş olan açılar bulunur. a + b + c = 180°

m(A) + m(B) + m(C) = 180°

Üçgenin iç açılarının toplamı180° dir.
İç açılara komşu ve bütünler olan açılara dış açı denir.

2. Üçgende dış açıların ölçüleri toplamı360° dir. a’ + b’ + c’ = 360° m(DAF)+m(ABE)+m(BCF)=360°

3. Üçgende bir dış açının ölçüsü kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir. [AB] // [CE olduğundan

m(ACD)=a+b

m(DAC) = m(A') = b + c m(DBE) = m(B') = a + c m(ECF) = m(C') = a + b

Yandaki şekilde a, b, c bulundukları açıların ölçüleri ise, m(BDC) = a+b+c

4. iki kenarı eş olan üçgene ikizkenar üçgen denir.ABC üçgeninde: lABl=lACl Ûm(B)=m(C)

Burada A açısına ikizkenar üçgenin tepe açısı, [BC] kenarına ise tabanıdenir.
Tepe açısına m(BAC) = a dersek
Taban açıları

5. Üç kenarıeş olan üçgene eşkenar üçgen denir. ABC üçgeninde |AB| = |BC| = |AC| m(A) = m(B) = m(C) = 60°

Eşkenar üçgen, ikizkenar üçgenin bütün özelliklerini taşır.

• ÜÇGENDE AÇIORTAYLAR

1. Üçgende iç açıortaylar bir noktada kesişirler. Bu nokta üçgenin içteğet çemberinin merkezidir.

Açıortayların kesiştiği noktadan kenarlara çizilen dikmelerin uzunluklarıeşittir. (Çemberin yarıçapı)

2. Üçgende iki dış açıortay ile üçüncü iç açıortay bir noktada kesişirler. Bu nokta üçgenin dıştan teğet çemberlerinden birinin merkezidir. (Üç dış teğet çember vardır.)

[AD], [BD] ve [CD] açıortaylarından herhangi ikisi verildiğinde üçüncüsünün de kesinlikle açıortaydır.

3. iki iç açıortayın kesişmesiyle oluşan açı; ABC üçgeninde ve BDC üçgeninde iç açılar toplamı  yazılırsa

4. iki dış açıortayın kesişmesiyle oluşan açı; ABC üçgeninin dış açılar toplamıve BDC üçgeninin iç açılar toplamını yazarsak

5. Bir iç açıortay ile bir dış açıortayın kesişmesiyle oluşan açı, ABC üçgeninin C açısının dış açıortayı ile B açısının iç açıortayı arasındaki açının ölçüsü A açısının ölçüsünün yarısıdır.

• Burada D noktası dış teğet çemberlerden birinin merkezi olduğundan, A dan çizilen dış açıortayda D noktasından geçer.

6. Açıortayla yükseklik arasında kalan açı; ABC üçgeninde [AD] A açısına ait açıortay ve [AH] yüksekliktir. Açıortayla yükseklik arasındaki açıya m(HAD) = x dersek

Bir açı ve açıortayını başka bir doğrunun kestiği durumlarda dış açı özelliği kullanılarak bütün açılar bulunabilir.

• GEOMETRİK KAVRAMLAR

Geometride “Nokta”, “Doğru”, “Düzlem” gibi kavramlar tanımsız olarak kabul edilir.
1. Nokta: “.” biçiminde gösterilir. Boyutu yoktur.
2. Doğru: İki uçtan sınırsız noktalar kümesidir.



3. Düzlem: Her yönde sonsuza giden noktalar kümesidir.
E düzlemi dört yönde de sonsuza kadar gider.

E düzlemi yandaki gibi gösterilir.

4. Doğru Parçası : İki nokta ile bu iki nokta arasında kalan noktaların birleşimidir.


[AB] sembolüyle gösterilir.
[AB] ® AB doğru parçası
|AB| ® AB doğru parçasının uzunluğu
5. Işın : Bir başlangıç noktası olup sonsuza giden noktalar kümesidir.

[AB sembolü ile gösterilir. ® AB ışını
6. Yarı Doğru: [AB ışınından A noktasının çıkarılması ile elde edilen kümeye AB yarıdoğrusu denir.

]AB sembolüyle gösterilir.

Doğrusal nokta kümelerinin gösterimi

	[AB]: A ve B noktaları dahil.
	[AB[: A noktası dahil, B noktası dahil değil
	]AB[: A ve B noktaları dahil değil

AÇILAR
Başlangıç noktaları ortak iki ışının birleşimine açı denir.
şekilde [AC ve [AB ışınının oluşturduğu açı BAC açısıdır.

[ABÈ[AC = BAC açısıdır.BAC, CAB olarak veya A ilegösterilir.[AB ve [AC ışınları açının kenarları,

A noktası açının köşesidir.
Açı yazılırken açının köşesi olan nokta ortada yazılır.
1. Açının Ölçüsü

[AB ile [AC arasındaki açıklığın ifadesine açının ölçüsüdenir. BAC açısının ölçüsü a dır.m(BAC) = a veya m(A) = a olarak gösterilir.

ölçüleri eşit olan açılara eş açılar denir.
2. Açının Düzlemde Ayırdığı Bölgeler

Bir açı düzlemi üç bölgeye ayırır. a. Açının kendisi[AB ve [AC ışınları.b. İç bölge (taralı alan) c. Dış bölge

3. Açı ölçü birimleri
Açı ölçüsü birimi olarak genelde derece kullanılır. Dereceden başka Grad ve Radyan birimleri de kullanılır. Açı ölçüsü birimleri arasında,
360° = 400 G(grad) = 2p (radyan) eşitliği vardır.
Bir ışının başlangıç noktası etrafında bir tur döndürülmesi ile elde edilen açı 360° dir.
Derecenin alt birimleri

1° = 60' (dakika)1' = 60" (saniye)1° = 3600" dir.90° = 89° 59' 60" ve 180° = 179° 59' 60" olur.

4. Ölçülerine göre açılar

a. Ölçüsü 0° ile 90° arasında olan açılara dar açı denir.

b. Ölçüsü 90° olanaçılara dik açı denir

c. Ölçüsü 90° ile 180° arasında olan açılara geniş açı denir.

d. Ölçüsü 180° olan açılara doğru açı denir.

e. Ölçüsü 360° olan açıya tam açı denir.

5. Komşu açılar

Köşeleri ve birer ışınları ortak olan, iç bölgesi ortak olmayan açılara komşu açılar denir.CAD ile DAB komşu açılardır.

6. Açıortay

Açıyı iki eşit parçaya bölen ışına açıortay denir.[AD, CAB açısının açıortayıdır.Açıortay üzerinde alınan her noktanın açının kollarına olan dik uzaklıkları eşittir.

7. Tümler açı

Ölçüleri toplamı 90° olan iki açıya tümler açılar denir. m(CAD)+m(DAB)=90°a+b=90° a açısının tümlerinin ölçüsü (90° – a) dır.

Komşu tümler iki açının açıortay doğruları arasındaki açının ülçüsü 45° dir.

[OA] ^ [OB]m(KOL) = 45°

8. Bütünler açı

Ölçüleri toplamı 180° olan iki açıya bütünler açılar denir.

 m(DAB)+m(CAD)=180°
x+y=180°

Komşu bütünler iki açının açıortay doğruları arasındaki açının ölçüsü 90° dir.x açısının bütünlerinin ölçüsü (180° – x) dir.

m(KOL) = 90°

9. Ters Açılar
Kesişen iki doğrunun oluşturduğu açılardan komşu olmayanlara ters açılar denir.

Ters açıların ölçüleri eşittir. m(x)=m(z) ve m(t)=m(y) dir.

10. Paralel iki doğrunun bir kesenle yaptığı açılar
a. Yöndeş açılar

d1 // d2 ise Yöndeş açıların ölçüleri eşittir.

m(a) = m(x) ; m(b) = m(y)
m(c) = m(z) ; m(d) = m(t)

b. İçters açılar

d1 // d2 ise a ile z ve b ile t içters açılarıdır. İçters açıların ölçüleri eşittir. m(a) = m(z); m(b) = m(t)

c. Dışters açılar

d1 // d2 ise Dışters açıların ölçüleri eşittir. m(c)=m(x)=m(d)=m(y)

d. Karşı durumlu açılar

d1 // d2 ise Karşı durumlu açıların toplamı 180° dır. m(a) + m(t) = 180°; m(b) + m(z) = 180°

Karşı durumlu açıların açıortayları arasındaki açının ölçüsü 90° dir.

Paralel doğrular arasında birden fazla kesenin olduğu durumlarda kesişim noktalarından yeni paraleller çizilir.

e. Birden fazla kesenli durumlar

d1 // d2 iseB noktasından d1 ve d2 doğrularına paralel çizersek m(ABC) = a + b olur.

B noktasından paralel çizersek m(ABD) + x = 180°m(DBC) + z = 180° buradanx + y + z = 360° dir.

f. Paralel doğrular arasındaki ardışık zıt yönlü açılar

d1 // d2 ise a + b + c = x + y olur. Bu tür soruları kırılma noktalarından paralellerçizerek de çözebiliriz.

g. Kolları paralel ve kolları dik açılar

Açıları oluşturan ışınlar aynı yönde ve paralel ise bu iki açının ölçüsü eşittir.
Açıları oluşturan ışınlar zıt yönlü ve paralel ise bu iki açının ölçüsü eşittir.
Açıları oluşturan ışınlardan biri aynı diğeri zıt yönlü ve paralel ise bu iki açının ölçüleri toplamı;a + b = 180° olur.
Kenarları birbirine dik karşılıklı iki açının ölçüleri toplamıa + b= 180° olur.
Kenarları şekildeki gibi birbirine dik açıların ölçüleri eşittir.